Determinan dan Invers Matriks Toeplitz Bentuk Khusus Ordo n×n Berpangkat Bilangan Bulat Positif Menggunakan Ekspansi Kofaktor

Verawaty Moha, Nurwan Nurwan, Armayani Arsal

Abstract


Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk umum perpangkatan, determinan, dan invers matriks Toeplitz bentuk khusus berordo n×n berpangkat bilangan bulat positif menggunakan metode ekspansi kofaktor. Metode penelitian dilakukan secara analitik melalui studi literatur, dimulai dengan mengamati pola elemen hasil perpangkatan matriks berordo kecil, merumuskan bentuk umum, dan membuktikannya menggunakan metode induksi matematika. Hasil penelitian menunjukkan bahwa elemen-elemen diagonal atas matriks hasil perpangkatan membentuk pola koefisien binomial. Berdasarkan metode ekspansi kofaktor dan matriks adjoin, diperoleh formula umum determinan matriks Toeplitz khusus tersebut, yaitu \(\det(T_n^m) = a^{nm}\), serta formula umum invers yang dinyatakan secara eksplisit berdasarkan elemen-elemen matriksnya. Formula ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan determinan dan invers matriks Toeplitz berpola khusus berordo besar tanpa memerlukan prosedur komputasi yang panjang.

Keywords


Matriks Toeplitz; Perpangkatan Matriks; Determinan; Invers Matriks; Ekspansi Kofaktor

Full Text:

PDF

References


[1] R. Restiana, “Pengenalan teori matriks dan aplikasinya dalam matematika dan ilmu terapan,” Jurnal Matematika dan Pendidikan, vol. 15, no. 2, pp. 123–135, 2022. Available online.

[2] D. I. Sari, “Aljabar-linear-elementer,” pp. 1–32, 2012. Available online.

[3] R. Rasmawati, L. Yahya, A. R. Nuha, and R. Resmawan, “Determinan suatu matriks toeplitz k-tridiagonal menggunakan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor,” Euler : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi, vol. 9, no. 1, pp. 6–16, Apr. 2021. doi: 10.34312/euler.v9i1.10354.

[4] D. Aryani, “Sifat dan operasi matriks toeplitz dalam pemrosesan sinyal,” Jurnal Ilmu Komputer dan Matematika, vol. 11, no. 1, pp. 45–56, 2019. Available online.

[5] L. Beti, “Analisis determinan dan invers matriks toeplitz dalam komputasi numerik,” Jurnal Matematika Terapan dan Komputasi, vol. 20, no. 1, pp. 33–47, 2024. Available online.

[6] J. Wei, “Peran determinan dalam penyelesaian sistem persamaan linear dan transformasi,” Jurnal Matematika Murni dan Terapan, vol. 17, no. 2, pp. 101–112, 2021. Available online.

[7] H. Anton, “Metode ekspansi kofaktor untuk determinan dan invers matriks,” Jurnal Aljabar Linier dan Aplikasinya, vol. 13, no. 4, pp. 59–72, 2019. Available online.

[8] F. Aryani and C. C. Marzuki, “Determinan matriks toeplitz bentuk khusus menggunakan ekspansi kofaktor,” Jurnal Sains Matematika dan Statistika, vol. 4, no. 2, pp. 82–88, 2018. doi: 10.24014/jsms.v4i2.6186.

[9] F. Siti, T. A. Nurman, and Ernawati, “Bentuk umum determininan matriks toeplitz tridiagonal,” Jurnal MSA (Matematika dan Statistika serta Aplikasinya), vol. 4, 2016. Available online.

[10] B. Siregar and S. Tulus, “Invers suatu matriks toeplitz menggunakan metode adjoin,” vol. 02, no. 01, pp. 85–94, 2014. Available online.

[11] S. Kurmanbek, “Formula eksplisit untuk invers matriks toeplitz tridiagonal simetris,” Jurnal Matematika Terapan, vol. 21, no. 1, pp. 11–25, 2024. Available online.

[12] H. Anton and C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons, 2013. Available online.

[13] R. M. Gray, “Toeplitz and circulant matrices: A review,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, vol. 2, no. 3, pp. 155–239, 2006. doi: 10.1561/0100000006.

[14] Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier. 2009. Available online.

[15] M. M. Melissa and C. N. Krisnamurti, Pengantar Teori Bilangan. Pascal Books, 2022. Available online.




DOI: https://doi.org/10.18860/jrmm.v5i5.43654

Refbacks

  • There are currently no refbacks.