Dimensi dari Hasil Kali Dua Subgrup Normal dalam Grup Dihedral D_2n

Ahmad Rizal Afandi

Abstract


Penelitian ini bertujuan menguraikan hubungan antara dimensi dari hasil kali dua subgrup normal, penjumlahan dimensi masing-masing subgrup normal, dan dimensi irisan keduanya pada grup dihedral D2n. Konsep dimensi yang digunakan adalah konsep yang diperkenalkan oleh Kaplan dan Lev (2003), yaitu banyaknya konjugasi kelas minimal yang diperlukan untuk membangun suatu grup. Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif dengan pendekatan studi literatur. Tahapan penelitian meliputi klasifikasi subgrup normal dari D2n, penentuan kelas konjugasi setiap subgrup normal, perhitungan dimensinya, kemudian penyusunan hubungan dimensi pada hasil kali dan irisan pasangan subgrup normal. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk n ganjil, setiap subgrup normal dari D2n berdimensi satu, sehingga dapat dibangun hubungan dim(N1N2) = dim(N1) + dim(N2) − dim(N1 ∩ N2) yang berlaku untuk semua pasangan subgrup normal. Untuk n genap, subgrup normal dapat berdimensi satu atau dua bergantung pada struktur kelas konjugasinya, dan ditemukan pasangan subgrup normal yang memuat elemen refleksi yang tidak memenuhi hubungan tersebut, sehingga hubungan ini tidak dapat digeneralisasi untuk seluruh grup dihedral D2n dengan n genap.


Keywords


dimensi grup; grup dihedral; hasil kali subgrup; kelas konjugasi; subgrup normal

Full Text:

PDF

References


D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 3 ed., 2004

J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups. New York: Springer, 4 ed., 1999.

J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra. Boston: Addison Wesley, 7 ed., 2003.

I. N. Herstein, Topics in Algebra. New York: John Wiley & Sons, 2 ed., 1975.

Y. Tian, “Formulas for calculating the dimensions of the sums and the intersections of a family of linear subspaces with applications,” Beiträge zur Algebra und Geometrie, vol. 60, 355 no. 3, pp. 471–485, 2019.

J. A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra. Belmont, CA: Cengage Learning, 8 ed., 2012.

J. F. Humphreys, A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996.

G. Kaplan and A. Lev, “On the dimension and basis concepts in finite groups,” Communications in Algebra, vol. 31, no. 6, pp. 2707–2717, 2003.

I. M. Isaacs, “Subgroups generated by small classes in finite groups,” Proceedings of the 361 American Mathematical Society, vol. 136, no. 7, pp. 2299–2301, 2008.

M. A. Kholilurrohman, “Dimensi grup dihedral,” skripsi, Universitas Islam Negeri Maulana 363 Malik Ibrahim Malang, 2022.




DOI: https://doi.org/10.18860/jrmm.v5i6.43861

Refbacks

  • There are currently no refbacks.